Math / OpenGL ES：绘制不同宽度的3D贝塞尔曲线
几个星期以来我一直在研究一个问题，并且已经达到了一定程度，我想确保我不会过度复杂化我的方法。 这是在iOS上的OpenGL ES 2.0中完成的，但原则是通用的，所以我不介意答案纯粹是数学forms。 这是破败。
我在3D空间中有2个点以及我用来生成贝塞尔曲线的控制点，其中包含以下等式：
B（t）=（1-t） 2 P 0 + 2（1-t）tP 1 + t 2 P 2
起点/终点位于相当大的球体上的动态坐标处，因此x / y / z变化很大，使静态解决方案不那么实用。 我目前正在使用GL_LINE_STRIP渲染点数。 下一步是使用GL_TRIANGLE_STRIP渲染曲线并控制相对于高度的宽度。
根据这个快速讨论 ，解决我的问题的一个好方法是找到与两侧曲线平行的点，并考虑它的方向。 我想创建总共3条曲线，传入索引以创建不同宽度的贝塞尔曲线，然后绘制它。
还有关于插值和使用Loop-Blinn技术的讨论 ，似乎可以解决各自问题的具体问题。 但我认为，这些解决方案可能过于复杂，无法实现我的目标。 我也不感兴趣将纹理融入其中。 我更喜欢使用我稍后将在着色器中计算的颜色绘制三角形。
所以，在我进一步阅读Trilinear Interpolation，Catmull-Rom样条，Loop-Blinn论文或进一步探索抽样之前，我想确定哪个方向最有可能是最好的选择。 我想我可以说最基本forms的问题是在3D空间中取一个点，并在其旁边找到两个平行点，考虑下一个点的绘制方向。
感谢您的时间，如果我能提供更多信息，请告诉我，我会尽力添加。
这个答案不是（据我所知）赞成你在问题中提到的方法之一，但是在这种情况下我会做什么。
我会计算曲线的归一化法线（或副法线）。 假设我采用归一化法线并将其作为t（ N(t) ）的函数。 有了这个，我会编写一个辅助函数来计算偏移点P：
P(t, o) = B(t) + o * N(t)
其中o表示曲线在法线方向上的有符号偏移。
给定此函数，可以通过以下方式简单地计算曲线左侧和右侧的点：
Points = [P(t, -w), P(t, w), P(t + s, -w), P(t + s, w)]
其中w是您想要实现的曲线的宽度。
然后通过两个三角形连接这些点。
对于在三角形条带中使用，这将意味着指数：
0 1 2 3
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要对曲线进行一些处理，通常会计算Frenet帧。
这是一组3个矢量（Tangent，Normal，Binormal），它给出了给定参数值（t）的曲线方向。
Frenet框架由下式给出：
unit tangent = B'(t) / || B'(t) || unit binormal = (B'(t) x B''(t)) / || B'(t) x B''(t) || unit normal = unit binormal x unit tangent
在这个例子中， x表示两个向量和|| v ||的叉积 || v || 是指封闭矢量v的长度（或范数）。
如您所见，您需要曲线的第一个（ B'(t) ）和第二个（ B''(t) ）导数。